Салфетка, кривая и ковёр Серпинского.

Ещё один пример фрактала — салфетка Серпинского (рис.1), придуманный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Сам термин принадлежит Мандельброту.

Пусть множество S₀ — равносторонний треугольник вместе с областью, которую он замыкает. Разобьём S₀ на четыре меньшие треугольные области, соединив отрезками середины сторон исходного треугольника. Удалим внутренность маленькой центральной области. Назовём оставшееся множество S₁. Затем повторим процесс для каждого из трёх оставшихся маленьких треугольников и получим следующее приближение S₂. Продолжая таким образом, получим последовательность вложенных множеств S_n, чьё пересечение и образует салфетку Серпинского S.

Из ранее приведённых примеров можно заметить, что для фигур, обладающих свойством идеального самоподобия, правило (2), позволяющее определить размерность D, можно переформулировать иным образом. Так, если множество, состоящие из одинаковых элементов, строится с помощью самоподобного процесса, причём на любом шаге каждый из элементов с линейными размерами e заменяется p подобными элементами, размерами e /q (с q > 1) каждый, то фрактальная размерность такого объекта очевидно равна

(3)

Из построения салфетки Серпинского видно, что вся салфетка представляет собой объединение N = 3 существенно непересекающихся уменьшенных в два раза копий. Следовательно, S — самоподобный фрактал, причём p = 3, q = 2. Его фрактальная размерность в соответствии с формулой (3) равна:

Можно построить непрерывную линию, обладающую таким же значением фрактальной размерности и геометрически эквивалентную салфетке Серпинского. Индуцирующим элементом для такого построения берётся отрезок еденичной длины, который потом заменяется на конструкцию, называемой генератором, состоящию из трёх отрезков длиной ½, расположенных под углом 120^о друг к другу (рис.2). Затем каждыйиз этих отрезков заменяется, в свою очередь, на генератор в два раза меньшего размера так, как показано на рис.3. правая часть того же рисунка изображает следующий шаг этой процедуры. Контуры будущей салфетки Серпинского отчётливо выступают на следующих двух этапах (рис.4).

Аналогично салфетке Серпинского можно построить квадратный ковёр Серпинского, который является двумерным аналогом канторовского множества исключённых средних третей..Вначале берётся квадрат с длиной стороны, равной единице. Затем каждая из сторон квадрата делится на три равные части, а весь квадрат, соответственно, на девять одинаковых квадратиков со стороной, равной 1/3. Из полученной фигуры вырезается центральный квадрат. Затем такой же прцедуре подвергается каждый из 8 оставшихся квадратиков (рис.5) и т.д.

В результате получается квадратный ковёр Серпинского (рис.6) со значение фрактальной размерности:

Он также представляет собой пример идеального самоподобного фрактала. Его фрактальная размерность, однако, больше, чем у салфетки Серпинского, т.е. он является в каком-то смысле менее дырявым.