(2)Возьмем равносторонний треугольник и определим следующую элементарную операцию: каждая сторона делится на r = 3 части, после чего средний сегмент заменяется на равносторонний треугольник, без этого сегмента. Операция повторяется n раз. В результате возникает симметричная, похожая на снежинку, бесконечно изломанная кривая (т.е. она не имеет производную ни в одной точке), которая представляет собой самоподобное множество, называемое снежинкой Коха (рис.1). Она так была названа в честь шведского математика Helge von Koch , который впервые описал её в 1904 году. Отличительной её особенностью является то, что она, будучи замкнутой тем не менее нигде себя не пересекает, поскольку достраиваемые треугольники каждый раз достаточно малы и некогда не “сталкиваются” друг с другом.
Подсчитаем её фрактальную размерность. Для этого воспользуемся модифицированной формулой для определения фрактальной размерности. Пусть на некотором этапе покрытия фрактала используется N(e ) элементов размера e , а на другом N(e ’) элементов размера e ’. Тогда величина фрактальной размерности может быть вычислена по формуле:
(2)
Возьмем в качестве длины стороны исходного треугольника e = 1, тогда число отрезков такой длины, которые покрывают снежинку Коха на этом (нулевом) шаге, равно N(e ) = 3. Затем при переходе к следующему шагу e = 1/3, а число отрезков N(e ) = 12. Поэтому фрактальная размерность снежинки Коха (в соответствии с формулой (2)) рана:
Эта величина больше единицы (топологической размерности линии), но меньше Евклидовой размерности плоскости, на которой расположена кривая. Таким образом, снежинка Коха представляет собой линию бесконечной длины, ограничивающую конечную площадь.
Снежинка Коха или триада Коха является математической моделью кривой побережья, с которой работал Ричардсон.
