Вселенная Фуренье

Понятие фрактала неизбежно возникает при попытке понять устройство Вселенной. Так например, надо узнать с какой средней плотностью распределены звёзды (или галактики) в видимой части Вселенной. Пусть R достаточно большой радиус внутри которого находится очень много N >> 1 звёзд. Тогда по определению средняя концентрация звёзд n = N/V(R), где — объём сферы. Можно предположить, что если радиус сферы достаточно велик, то концентрация звёзд не будет зависеть от этого радиуса, и мы получим ответ на вопрос.

Однако, опытные данные говорят об обратном. С ростом R величина n непрерывно уменьшается. И, что интересно, уменьшение происходит по степенному закону n µ R^D-3, где D » 1,23, т.е. намного меньше 3. Это соответствует тому, что число звёзд в сфере радиуса R растёт как

N µ R^D = R^1,23,
т.е. гораздо медленее, чем было бы в случае их однородного распределения в пространстве. Таким образом, распределение звёзд и галактик во Вседенной крайне неоднородно. Количественной мерой этой неоднородности может служить показатель степени D от 3. Саму же величину D можно отождествить с фрактальной размерностью распределения материи во Вселенной. Это утверждение нуждается в пояснении.

Так исходя из соотношения N » (R/l)^D при определении фрактальной размерности D береговой линии, где величина R была расстоянием между парой точек А и В на береговой линии по прямой, длина l << R была масштабом измерения, а число N показывало, сколько раз этот масштаб укладывался вдоль береговой линии между точками А и В. В соответствии с этой формулой фрактальную размерность D можно трактовать двояко. С одной стороны, в полном согласии с определением она показывает, как с уменьшением масштаба e растёт число элементов, с помощью которых можно покрыть некоторую выделенную область на данном фрактале. С другой стороны, она показывает, как то же самое число растёт с увеличением R — размера этой области. Причина такой двойственности, очевидно, кроется в том, что нет своего собственного масштаба длины, а поскольку число N должно быть безразмерным, то показатель степени D оказывается одним и тем же как для зависимости N µ R^D, так и для зависимости N µ e ^-D.

Как можно представить распределение звёзд в трёхмерном пространстве, имеющее фрактальную размерность D, близкую к единице? Разумеется, ответ на этот вопрос сильно неоднозначен. Существует бесконечное количество различных конструкций, имеющих одно и тоже значение фрактальной размерности. Одним из классических примеров является вселенная Фурнье, названная так по имени американского журналиста и изобретателя, который предложил её в 1907 году. Она показана на рис.1.

Каждая точка на этом рисунке представляет собой одну галактику. Они объединены в скопления радиуса R₁ по 7 галактик в каждом скоплении. На рисунке видны только 5 из них: недостающие две расположены симметрично над и под плоскостью рисунка, на прямой, проходящей через центр скопления (скопления имеют форму правильного восьмигранника — октаэдра, в 6 вершинах и в центре которого расположены 7 галактик). В свою очередь, семь таких скоплений аналогичным образом объединены в одно суперскопление радиуса R₂ Затем по такому же принципу из 7 суперскоплений строится одно суперсуперскопление радиуса R₃, причём и т.д. В результате многократного повторения такого процесса возникает самоподобная фрактальная структура.

Её фрактальную размерность легко определить, заметив, что как следует из рисунка, в сфере радиуса R₂ содержится в 7 раз больше галактик, чем в сфере R₁, т.е. N(R₂) = 7N(R₁). Решением этого уравнения является степенная функция N µ R^D, где

.

У Фурнье R₂ = 7R₁, поэтому размерность такой вселенной равняется 1. Как видно, она для этого вовсе не обязательно должна быть прямой или какой-нибудь плавной кривой. Более того, она даже не должна быть связанной. Меняя отношение , легко построить фрактальные вселенные с другими размерностями D, близкими к единице.