Множество Кантора

Классическая канторовская пыль представляет собой пример компактного, совершенного и вполне разрывного множества. Более того, можно утверждать, что типологически классическое множество Кантора определяется как компактное, совершенное и вполне разрывное множество. Это означает, что любое компактное, совершенное и вполне разрывное множество можно непрерывно отобразить в пыль Кантора, причём существует обратное преобразование, с помощью которого можно восстановить исходное множество. Любое такое множество принято называть множеством Кантора [5]. Не следует думать, однако, что все множества Кантора самоподобны. Более того, даже фрактальная размерность различных самоподобных множеств Кантора не обязательно совпадает, так например.

Рассмотрим пример идеально самоподобного фрактала, являющегося множеством Кантора размерности (в то время как размерность канторовской пыли D » 0,6309).

Обозначим через Х множество всех вещественных чисел отрезка [0, 1], в десятичном представлении которых:

х = 0, х₁ х₂, х₃ …
отсутствует какая-нибудь цифра, скажем, цифра 7. К пример, числа

0 = 0,000(0)…

1 = 0,999(9)…

ј = 0,250(0)…
принадлежат множеству Х. Принадлежит Х и число 0,7, так как его можно записать следующим образом:

0,7 = 0,699(9)…,
то есть не используя цифру 7.

Пусть Х₀ = [0, 1]. Разделим Х₀ на десять равных интервалов. Цифра х₁ указывает, какому из интервалов принадлежит х.. Если х₁ = 0, то х попадает в первый интервал и т.д. Ни одна цифра х_i в нашем множестве не должна ровняться 7. Раз х₁ ¹ 7, то х не попадает в восьмой интервал, то есть х не принадлежит интервале (0,7; 0.,8).Выбросим этот интервал и обозначим оставшееся множество через Х₁. Разделим каждый из оставшихся девяти интервалов на десять равных частей. Так как х₂ ¹ 7, то выбрасим каждый восьмой из получившихся интервалов. Обозначим новое множество через Х₂. Повторяя описанную процедуру бесконечное число раз, получим последовательность вложенных множеств Х₀, Х₁, Х₂, …. Из построения следует, что Х представляет собой объединение N =9 уменьшенных в 10 раз копий самого себя. Таким образом Х самоподобный фрактал, и его фрактальная размерность равна:

Переходя от прямой к плоскости, можно построить множество Кантора размерности D = 1. Следующий пример принадлежит Магди Мохамеду. Пусть исходное множество — единичный квадрат на плоскости с вершинами в точках (0,0), (1,0), (1,1), и (0,1). На каждом шаге имеющиеся квадраты заменяются четырьмя меньшими, как показано на рис.1. Предельное множество этого построения есть самоподобный фрактал с p=4 и q=4. Следовательно, его размерность равна:

Из построения следует, что полученное множество есть множество Кантора, так как оно компактно, совершенно и вполне разрывно.