До недавнего времени геометрические модели различных природных конструкций строились на основе сравнительно простых геометрических фигур: прямых, прямоугольников, окружностей, многогранников, сфер и т.д. Однако очевидно, что этот классический набор, вполне достаточный для описания элементарных структур, становится плохо применимым для характеристики таких сложных объектов, как очертание береговых линий материков, поле скоростей в турбулентном потоке жидкости, разряд молнии в воздухе, пористые материалы, форма облаков, снежинки, пламя костра, контуры деревьев, кровеносно-сосудистая система человека, поверхность клеточной мембраны и др. В последние 15-20 лет для описания этих и им подобных образований учёные всё чаще используют новые геометрические понятия.
Одним из таких понятий, изменившим многие традиционные представления о геометрии, явилось понятие фрактала. Оно было введено в обращение замечательным французским математиком польского происхождения Бенуа Мандельбротом в 1975 году. И хотя в математике похожие конструкции в той или иной форме появлялись уже много десятилетий назад , в физике ценность подобных идей была осознана лишь в 70-е годы предыдущего столетия. Важную роль в широком распространении идей фрактальной геометрии сыграла замечательная книга Б.Мандельброта “Фрактальная геометрия природы” [1]. Фрактальные объекты, согласно своему начальному определению, обладают размерностью, строго превышающей топологическую размерность элементов, из которых они построены. Характеризуя новые идеи. Мандельброт писал:
“Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака — Это не сферы, горы — это не конусы, Линяя берега — это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой… Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно”.
Основой новой геометрии является идея самоподобия. Она выражает тот факт, что иерархический принцип организации фрактальных структур не претерпевает значительных изменений при расмотрений их через микроскоп с различным увеличением . В результате эти структуры на малых масштабах выглядят в средним также, как и на больших. Здесь следует провести разницу между геометрией Евклида, имеющие дело исключительно с гладкими кривыми, и бесконечно изрезанным самоподобными фрактальными кривыми. Элементы кривых у Евклида всегда самоподобны, но тривиальным образом: все кривые являются локально прямыми, а прямая всегда самоподобна. Фрактальная кривая, в идеале, на любых, даже самых маленьких масштабах не сводится к прямой и является в общем случае геометрически нерегулярной, хаотичной. Для неё, в частности, не существует и понятия касательной в точке, так как функции, описывающие эти кривые, являются в общем случае не дифференцируемыми.
Многие крупные достижения науки о фракталах стали возможны только с использованием методов вычислительной математики, которая в настоящие время немыслима без применения современных компьютеров. “Компьютерные эксперименты” позволили получить достаточно полное представление о разнообразных фрактальных структурах и причинах их возникновения. Часто теоретическое моделирование этих структур подчас даже опережало экспериментальные методы изучения реальных природных объектов сложной формы.
Любопытно отметить, что с появлением фракталов вычислительная математика стала сама непосредственно участвовать в создании истинных эстетических ценностей. Главным образом это относится к компьютерной графике, которая переживает сегодня период интенсивного развития. Она оказалась способна воссоздать на экране монитора бесконечное разнообразие фрактальных форм и пейзажей, погружая зрителя в удивительное виртуальное пространство. В настоящие время при помощи сравнительно простых алгоритмов появилась возможность создавать трёхмерные изображения фантастических ландшафтов и форм, которые способны преобразовываться во времени в ещё более захватывающие картины. С другой стороны, часто искусственные изображения фракталов столь схожи с естественными, природными формами, что их невозможно отличить друг от друга. Стремительное вторжение компьютеров в мир искусства во многом изменило понятие красоты и гармонии, живописной выразительности и точности воссоздания окружающего мира.
Фрактальные объекты удивительным образом перекинули мост между логическим подходом к познанию природных явлений, который присущ научному мышлению, и интуитивным подходом, когда человек пытается воссоздать окружающий мир с помощью богатства эстетических форм и звуков. Оказывается, что при анализе многих фракталов, построенных на основе точных математических алгоритмов, более уместны эстетические категории и ассоциации. В подтверждение можно привести слова выдающегося немецкого математика Германа Вейля (1885-1955 гг.):
“В своей работе я всегда пытался объединить истину с красотой, а когда мне приходилось выбирать между ними, я обычно выбирал красоту”.
Красота фракталов двояка: она услаждает глаз (и слух), о чём убедительно свидетельствует, например, обошедшая весь мир выставка фрактальных изображений, организованная группой бременских математиков под руководством Пайтгена и Рихтера. Позднее экспонаты этой грандиозной выставки были запечатлены в иллюстрациях к книге Пайтгена и Рихтера “Красота фракталов” [2].
Но существует и другой, более абстрактный, тонкий и возвышенный аспект красоты фракталов, открытый, по словам Ричарда Фейнмана, только умственному взору теоретика. В этом смысле фракталы прекрасны красотой трудной математической задачи. Дело в том, что Бенуа Мандельброт указал на досадный пробел в “Началах” Евклида (неявное предположение о гладкости объектов), по которым, не замечая явного упущения, человечество на протяжении почти двух тысячелетий постигало геометрию окружающего мира и училось математической строгости изложения. Разумеется, оба аспекта красоты фракталов тесно связанны и не исключают, а взаимно дополняют друг друга, хотя каждый их них самодостаточен.
Несколько слов об истории развития фрактальных геометрии. Она тесно связана с именами таких известных математиков, как Вейерштрасс, Кантор, Пеано, Хаусдорф, Безикович, Кох, Серпинский и др. Появление фракталов (ещё не получивших этого имени) в математической литературе около ста лет назад было встречено с прискорбной неприязнью, как это и бывало и в истории развития многих других математических идей. Один известный математик, Шарль Эрмит, даже окрестил их монстрами. По крайней мере, общее мнение признало их паталогией, представляющей интерес только для исследователей, злоупотребляющих математическими причудами, а не для настоящих учёных.
Благодаря усилиям Бенуа Мандельброта такое отношение изменилось, и фрактальная геометрия стала уважаемой прикладной наукой. Мандельброт ввёл термин фрактал, основываясь на теории дробной (фрактальной) размерности Хаусдорфа, предложенной в 1919 году. С выходом его книг: Fractals: Forms, Chance and Dimension [3]; The fractal geometry of nature [1] приложения фрактальной геометрии стали быстро развиваться. Мандельброт отыскал нишу для множеств Кантора, кривых Пеано, функций Вейерштрассе и их Многочисленных разновидностей, которые считались нонсенсом. Он и его ученики открыли много новых фракталов, например, фрактальное броуновское движение для моделирования лесного и горного ландшафтов, флуктуаций уровня рек и биения сердца.
Траектории частиц броуновского движения, которым занимался Роберт Броун в 1828 году и Альберт Эйнштейн в 1905 году, представляет собой пример фрактальных кривых, хотя их математическое описание было дано только в 1923 году Норбертом Винером. В 1890 Пеано сконструировал свою знаменитую кривую — непрерывное отображение, переводящие отрезок в квадрат и, следовательно, повышающее его размерность с 1 до 2. Граница снежинки Коха (1904), чья размерность d=log(4)/log(3)=1.2618…, это ещё одна кривая, повышающая размерность.
Фрактал, никоим образом не похожий на кривую, который Мандельброт назвал пылью — это классическое множество Кантора. Это множество настолько разрежено, что оно не содержит интервалов, но, тем не менее, содержит столько же точек, сколько интервал. Мандельброт использовал такую “пыль” для моделирования стационарного шума в телефонии. Фрактальная пыль того или иного рода появляется в многочисленных ситуациях. Фактически, она является универсальным фракталом в том смысле, что любой фрактал — аттрактор системы итерированных функций (СИФ) — представляет собой либо фрактальную пыль, либо её проекцию на пространство с более низкой размерностью.
Большой вклад в будущую фрактальную геометрию внесли также знаменитые работы французских математиков Г. Жулиа и П. Фату, которые в начале XX века занимались теорией рациональных отображений в комплексной области. Практически полностью забытая, их деятельность получила неожиданное развитие в начале 80-х годов, когда с помощью компьютеров математикам удалось получить прекрасные картины, показывающие примкры таких отображений. Это уже была эра фрактальной геометрии, поскольку незадолго до этого, в середине 70-х годов, в науке появился совершенно новый термин “фрактал”, характеризующий нерегулярный, но самоподобный объект, который удобно было охарактеризовать нецелочисленной размерностью.
Система итерированных функций (СИФ) — одно из самых замечательных и глубоких достижений в построении фракталов. Математические аспекты были разработаны Джоном Хатчинсоном в 1981 году [4]. Именно СИФ порождает фракталы простым и естественным путём. Реминисценции, навеянные предельной динамикой СИФ, ведут к теории дискретных динамических систем. Аналогами аффинных СИФ являются здесь нелинейные преобразования, порождённые, например, сечениями Пуанкаре многомерных фазовых потоков. Нелинейность приводит к существенной зависимости от начальных данных так, что малые погрешности экспоненциально растут в фазовом потоке и, начиная с некоторого момента времени, будущее состояние системы становится лишь ограниченно предсказуемым. Этот процесс чаще происходит в диссипативных системах, траектории которых заполняют низкоразмерное инвариантное притягивающие подмножество — аттрактор в фазовом пространстве. На аттракторе траектории разбегаются в неустойчивых направлениях и сжимаются в устойчивых. Вследствие диссипации сжатие преобладает и в устойчивых направлениях аттрактор копирует сам себя : сечение фазового потока приобретает самоподобную структуру канторова множества с дробной размерностью. Такой аттрактор называют странным или фрактальным
Самоподобная структура фрактала позволяет восстановить СИФ по фрагменту, по крайней мере, в приближении конечного числа итераций. В 1991 году Бресслофф и Штарк показали, что процесс аппроксимации аттрвктора СИФ эквивалентен работе бинарной сети. Таким образом, термин “фрактал” в геометрии и “странный аттрактор” в динамике оказываются синонимами, а СИФ можно рассматривать как рекуррентную асимметричную нейросеть. С другой стороны, Фернандо Ниньо в 2000 году установил, что случайная итеративная нейронная сеть (гипернейрон) типологически эквивалентна динамической системе с заданным аттрактором. Круг замкнулся, образовав единый контекст, объединяющий фракталы, СИФ, аттракторы и нейронные сети.
Для многих учёных стало очевидно, что старые, добрые формы евклидовой геометрии сильно проигрывают большинству природных объектов из-за отсутствия в них некоторой нерегулярности, беспорядка и непредсказуемости.. Возможно, что новые идеи фрактальной геометрии помогут изучить многие загадочные явления окружающей природы. В настоящие время фракталы и мультифракталы стремительно вторгаются во многие области физики, биологии, медицины, социологии, экономики. Методы обработки изображений и распознавания образов, использующие новые понятия, дают возможность исследователям применить этот математический аппарат для количественного описания огромного количества природных объектов и структур.
Язык фрактально геометрии необходим, например, при изучении поглощения или рассеяния излучения в пористых средах, для характеристики сильно развитой турбулентности , при моделировании свойств поверхности твёрдых тел, для описания диэлектрического пробоя или молнии, при анализе процессов усталостного разрушения материалов, при исследовании различных стадий роста вещества за счёт диффузии и последующей агрегации, в квантовой механике при описании геометрической структуры волновых функций в точке перехода Андерсона металл-диэлектрик. Удивительно, что сходные геометрические форы встречаются в совершенно различных областях науки: в астрофизике при описании процессов кластеризации галактик во Вселенной, в картографии при изучении форм береговых линий и разветвленной сети речных русел и, например, в биологии, при анализе строения кровеносной системы или рассмотрении сложных поверхностей клеточных мембран.