Системы итерированных функций

Для построения СИФ рассматривают совокупность сжимающих отображений:

T₁, с коэффициентом сжатия s₁ < 1

T₂, с коэффициентом сжатия s₂ < 1

.

.

.

T_m, с коэффициентом сжатия s_m<1
действующих на Rⁿ. Эти m отображений используются для построения одного сжимающего отображения Т в пространстве К всех непустых компактов Rⁿ. Преобразование Хатчинсона Т: К® К определяется следующим образом:

, (1)

Определение. Системой итерированных функций (СИФ) называют совокупность введённых выше отображений вместе с итерационной схемой:

E₀ = компактное множество (произвольное)

E₁ = T(E₀)

E₂ = T(E₁)

.
.
.

E_n=T(E_n-1)
.
.
.

Основная задача теории СИФ — выяснить, когда СИФ порождает предельное множество E:

в смысле сходимости в метрике Хаусдорфа. Если предел существует, то множество E называют аттрактором системы итерированных функций или фракталом.

Для этого надо показать, что T сжимающие отображение полного метрического пространства (K, H) в себя. Тогда по теореме Банаха аттрактор E есть не что иное, как неподвижная точка отображения T.

Действительно, К — множество всех не пустых компактных подмножеств из Rⁿ само есть компактное множество. А любой компакт представляет собой полное метрическое пространство с соответствующей метрикой. Не трудно показать, что преобразование Т является сжимающим отображением на К с хаусдорфовой метрикой. Его коэффициент сжатия равен: