Классическое множество Кантора или пыль Кантора, названо по имени Георга Кантора, который описал его в 1883 году. Существование пыли кантора отмечалось до этого Генри Смитом в 1875 году или ещё ранее. Это множество известно как пример множества нулевой меры Лебега, чья мощность равна мощности континуума c.
Построение классической пыли Кантора начинается с выбрасыванием средней трети (не включая концы) единичного отрезка. То есть исходное множество есть отрезок [0,1], и первый шаг состоит в удалении открытого интервала (1/3, 2/3). На следующем и всех остальных шагах выкидываем среднюю треть (не включая концы) всех отрезков текущего уровня. Таким образом, получается последовательность множеств рис 1
.
Рис.1
C0 = [0, 1]
C1 = [0, 1/3] È [2/3, 1]
C2 = [0, 1/9] È [2/9, 1/3] È [8/9, 1]
…
C
Предельное множество C, которое представляет собой пересечение множеств Cn, n = 0, 1, 2, …, называется классическим множеством Кантора или пылью Кантора
Вычислим фрактальную размерность этого множества. Воспользуемся формулой (1). Очевидно, что на n-м шаге построения имеется 2n отрезков длины 1/3n каждый. Поэтому в качестве N(e ) на этом шаге можно взять величину 2n, а в качестве e — величину 1/3n. Предел e à 0 соответствует пределу n à ¥ . Поэтому фрактальная размерность равна
Она оказалась меньше Евклидовой размерности пространства, в котором располагается это множество (т.е. его длина равна нулю), но отлична от нуля, т.е. больше топологической размерности элементов (точек) этого множества.
Существует функциональный аналог
множества Кантора — функция кантора.
Распределим равномерно на C
единичную массу (меру) с плотностью m
. Тогда функция 
описывает распределение меры на канторовом
носителе. Она является непрерывной
возрастающей функцией, которая тем не менее
почти всюду имеет нулевую производную (т.е.
горизонтальна). Её называют “чёртовой
лестницей” (рис.2).
